Question

Решить уравнение
$2 sqrt{x+2} + sqrt{2-x} = sqrt{2-x+ sqrt{x(x+2)} }$

Answer 1

 $x+2= a \ -(x-2)=b \ 2sqrt{a}+sqrt{b} = sqrt{b+sqrt{ (frac{a^2-ab}{2})}} \ 4a+4sqrt{ab}+b = b+sqrt{frac{a^2-ab}{2}} \ 32(a+sqrt{ab})^2 = a^2-ab \ 32(a^2+2asqrt{ab}+ab ) = a^2-ab \ sqrt{ab}=y\ 32(a^2+2ay+y^2) = a^2-y^2 \ 32(a+y)^2 = (a+y)(a-y)\ (a+y)( 32(a+y) - a+y ) = 0 \ y=-a\ y=frac{-31a}{33} \ sqrt{(x+2)(2-x)} = -x-2$ 
$y=-a\ sqrt{(x+2)(2-x ) } = -x-2 \ x=-2$ 
Для второго случая , решений , нет

Answer 2

x≥-2; x≤2, и x∈(-∞;-2]U[0;∞), т.е. итоговая ОДЗ: {-2}U[0;2]. Проверяем, что -2 - корень.  По неравенству для среднего геометрического и арифметического:
$2-x+sqrt{x(x+2)}le2-x+frac{x+(x+2)}{2}=3$. Значит правая часть на интервале [0;2]  не превосходит √3, а левая часть, очевидно ≥2√2. Значит на [0;2] корней нет. Итак, ответ x=-2.