Question

Решить уравнение
sin x + (sin^2) x+ (cos^3) x = 0

Answer 1

$sin x+sin^2 x + cos^3x=0$
 Представим cos x как √(1-sin²x), но знак может быть ±, возьмём по модулю
 $sin x+sin^2 x+ cos^2x cdot cos x=0\ sin x+sin^2x + (1-sin^2x)cdot |sqrt{1-sin^2x}|=0$
Пусть $sin x=t,(|t| leq 1)$, тогда получаем
$t+t^2+(1-t^2)cdot | sqrt{1-t^2}|=0$
ОДЗ этого уравнения 1-t² ≥ 0, откуда t ∈ [-1;1], имеем уравнение
$t+t^2+(1-t^2) sqrt{1-t^2}=0 \ -t-t^2=(1-t^2)^{ frac{3}{2} }\ (1-t^2)^3=(-t-t^2)^2\ -(t-1)^3(t+1)^3-t^2(t+1)^2=0\ (t+1)^2(-(t-1)^3(t+1)-t^2)=0\ t_1=-1\ \ -(t-1)^3(t+1)-t^2=0\ -t^2(t-1)^2+(t-1)^2=0\ -t^4+2t^3-2t^2+(t-1)^2=0\ -t^4+2t^2(t-1)+(t-1)^2=0$
Пусть t² = a,  t-1 = b (a,b≥0), тогда получаем
$-a^2+2ab+b^2=0|:b^2\ - (frac{a}{b} )^2+2cdot frac{a}{b} +1=0\ frac{a}{b}=z= frac{t^2}{t-1}$
$z^2-2z-1=0\ D=b^2-4ac=8\ z_1=1- sqrt{2} \ z_2=1+ sqrt{2}$

Буду возвращается к замене с корнем $z=1+ sqrt{2}$
$frac{t^2}{t-1}=1+ sqrt{2} |cdot (t-1)\ t^2-(1+ sqrt{2})t+1+ sqrt{2}\ D=b^2-4ac=(-1- sqrt{2} )^2-4cdot(1+ sqrt{2})=-1-2 sqrt{2} \ t_1= frac{-1- sqrt{2}- sqrt{-1+2 sqrt{2} } }{2}$
$t_2=frac{-1- sqrt{2}+ sqrt{-1+2 sqrt{2} } }{2}$ - не удовлетворяет ОДЗ

Возвращаемся к замене
$sin x=-1\ x=- frac{pi}{2}+2 pi k,k in Z\ \ sin x=frac{-1- sqrt{2}- sqrt{-1+2 sqrt{2} } }{2} \ x=(-1)^kcdot arcsin(frac{-1- sqrt{2}- sqrt{-1+2 sqrt{2} } }{2} )+ pi k,k in Z$