Question

здравствуйте. помогите пожалуйста найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанному начальному условию (1+x^2)y'+y=y^2arctgx y(0)=1

Answer 1

Это уравнение является уравнением Бернулли.
Очевидно, что функция $y = 0$ является решением уравнения. Разделим обе части на $y^2$, предполагая, что $y neq 0$:
$(1+x^2) frac{y'}{y^2} + frac{1}{y} = arctgx$.
Сделаем замену $frac{1}{y} = z$, тогда $z' = -frac{y'}{y^2}$ и уравнение принимает вид
$-(1+x^2)z' + z = arctgx$.
Получили линейное неоднородное уравнение. Решим его методом вариации постоянной. Для этого найдем решение соответствующего однородного уравнения:
$-(1+x^2)z' + z = 0 Leftrightarrow (1+x^2)z' - z = 0$.
Это уравнение с разделяющимися переменными.
$(1+x^2) frac{dz}{dx} - z = 0 \ frac{dz}{z} = frac{dx}{1+x^2} \ int frac{dz}{z} = int frac{dx}{1+x^2} \ lnz = arctgx + C \ z = Ce^{arctgx}$.
Заменим постоянную C новой неизвестной функцией C(x) и в таком виде будем искать решение неоднородного уравнения:
$z = C(x)e^{arctgx} \ (1+x^2)(C(x)e^{arctgx})' + C(x)e^{arctgx} = -arctgx \ (1+x^2)C'(x)e^{arctgx} + C(x)e^{arctgx} - C(x)e^{arctgx} = -arctgx \ (1+x^2)C'(x)e^{arctgx} = -arctgx \ C'(x)=-frac{e^{-arctgx}arctgx}{1+x^2} \ C(x) = -intfrac{e^{-arctgx}arctgx}{1+x^2}dx$.
Сделаем замену в интеграле:
$t = arctgx\ C(x) =-intfrac{e^{-arctgx}arctgx}{1+x^2}dx = -int te^{-t}dt$.
Интеграл легко берется по частям (оставляю на вас):
$C(x) = (t+1)e^{-t} + C = (arctgx+1)e^{-arctgx} + C$, где C - произвольная постоянная.
Таким образом, 
$z = C(x)e^{arctgx} = ((arctgx+1)e^{-arctgx} + C)e^{arctgx} = Ce^{arctgx}$$+arctgx + 1$.
Вспоминаем, что $frac{1}{y} = z$, тогда 
$y = frac{1}{Ce^{arctgx}+arctgx+1}$ - общее решение.
Теперь воспользуемся начальным условием y(0) = 1:
$frac{1}{Ce^{arctgx} + arctgx + 1} = 1\ frac{1}{Ce^{arctg0} + arctg0 + 1} = 1 \ C = 0$.
Значит, искомая функция есть 
$y = frac{1}{arctgx + 1}$.