Question

здравствуйте, помогите, пожалуйста, найти неопределенный интеграл пользуясь методом разложения рациональных дробей на простейшие интеграл (5x-11)/(x(x^2+4)) dx

Answer 1

$mathfrak{I}=int dfrac{5x-11}{x(x^2+4)} dx=int dfrac{A}{x} dx+int dfrac{Bx+C}{x^2+4} dx=\ \ = int dfrac{Ax^2+4A+Bx^2+Cx}{x(x^2+4)} dx= int dfrac{(A+B)x^2+Cx+4A}{x(x^2+4)} dx = textgreater \ \ begin{cases} A+B=0 \ C=5 \ 4A=-11 end{cases} textless = textgreater begin{cases} A=-11/4 \ C=5 \ B=11/4 end{cases} = textgreater$
$mathfrak{I}=int dfrac{5x-11}{x(x^2+4)} dx=int dfrac{- frac{11}{4} }{x} dx+int dfrac{ frac{11}{4} x+5}{x^2+4} dx= \ \ =- frac{11}{4} int dfrac{dx}{x} +frac{11}{4} int dfrac{xdx}{x^2+4} +5int dfrac{dx}{x^2+4} = mathfrak{I_1}+mathfrak{I_2}+mathfrak{I_3} \ \ mathfrak{I_1}=- frac{11}{4} int dfrac{dx}{x}= - frac{11}{4} ln |x|+C_1;\ \ mathfrak{I_2}= frac{11}{4} int dfrac{xdx}{x^2+4} =frac{11}{8} int dfrac{d(x^2+4)}{x^2+4} =frac{11}{8} ln(x^2+4)+C_2;$
$mathfrak{I_3}=5int dfrac{dx}{x^2+4} = frac{5}{2} int dfrac{d( frac{x}{2}) }{( frac{x}{2})^2+1} = frac{5}{2} arctg frac{x}{2} +C_3.$

$mathfrak{I}=- frac{11}{4} ln |x|+frac{11}{8} ln(x^2+4)+frac{5}{2} arctg frac{x}{2} +C.$

Ответ: $- frac{11}{4} ln |x|+frac{11}{8} ln(x^2+4)+frac{5}{2} arctg frac{x}{2} +C.$