Question

(37)Определенный интеграл. Интегрирование по частям Решить как можно подробнее

Answer 1

$mathfrak{I} =int (x- pi )cos2xdx= frac{1}{2} int (x- pi )d(sin2x)=\ \ frac{1}{2}(x- pi )sin2x-frac{1}{2} int sin2xd(x- pi )= frac{1}{2}(x- pi )sin2x-frac{1}{2} int sin2xdx= \ \ = frac{1}{2}(x- pi )sin2x+frac{1}{4} cos2x+C. \ \ int limits_{0}^{ pi /4 }(x- pi )cos2xdx=(frac{1}{2}(x- pi )sin2x+frac{1}{4} cos2x)Bigr|_0^{pi/4}=$

$=(frac{1}{2}(frac{ pi }{4}- pi )sin(2*frac{ pi }{4})+frac{1}{4} cos(2*frac{ pi }{4}))-(frac{1}{2}(0- pi )sin0+frac{1}{4} cos0)= \ \ =-frac{ 3pi }{8}-frac{ 1 }{4}$

При вычислении площади фигуры используют абсолютную величину данного значения, т.е. число $|-frac{ 3pi }{8}-frac{ 1 }{4}|=frac{ 3pi }{8}+frac{ 1 }{4}$