Question

Дана функция: f(x)=(x-k)/(x-3), k не равно 3. Касательная к графику в точке, где х=k параллельна касательной в точке, где х=5. При каких значениях k
функция f(x) будет убывать во всех областях определения?
Ответ - при k менее 3, но как дойти к этому решению, я пока не понимаю. Помогите, пожалуйста!

Answer 1

Находим производную
$f`(x)=( frac{x-k}{x-3})`= frac{(x-k)`(x-3)-(x-k)(x-3)`}{(x-3) ^{2} }= frac{(x-3)-(x-k)}{(x-3) ^{2} }= frac{x-3-x+k}{(x-3) ^{2} }= \ \ = frac{k-3}{(x-3) ^{2} }$

Угловой коэффициент касательной в точке равен значению производной функции в этой точке.

$f`(5)= frac{k-3}{(5-3) ^{2} }= frac{k-3}{4}$

$f`(k)= frac{k-3}{(k-3) ^{2} }= frac{1}{k-3}$

Если прямые ( касательные) параллельны, то их угловые коэффициенты равны.

Составляем уравнение
$frac{k-3}{4}= frac{1}{k-3} \ \ k neq 3 \ \ (k-3) ^{2}=4$

k-3=2          или           k-3 = -2
k=5              или          k=1

в точках  х=k
k=5  или  k=1
точка х=5 дана

Ответ.  k=1