Question

Нехай дiйснi числа x,y i z
задовольняють одночасно двi рiвностi:
(x+y)(х ^2+ у^2+2z)=1
(х ^2 +z) ^2 +z(x+y) ^2=1
Доведiть, що тодi виконується нерiвнiсть (у^2 +z) ^2 +z(x+y) ^2 ≥ z
З’ясуйте, коли в цiй нерiвностi досягається рiвнiсть.

Answer 1

   Сделаем замену 
 $x^2+z=a \ y^2+z=b$
 тогда система 
 $a^2+z(x+y)^2=1 \ (x+y)(a+b)=1$     
 Надо доказать 
 $b^2+z(x+y)^2 geq z$ 
 Из системы выразив $b;z$ 
 Получим , что надо доказать  
 $frac{ -2a(x+y)+(x+y)^2+1 }{(x+y)^2} geq frac{ (1-a^2) }{ (x+y)^2 }$ 
 $frac{ (x+y-a)^2 }{ (x+y)^2 } geq 0$
  что верно ,  так как квадрат не может быть отрицательным
  $(y^2+z)^2+z(x^2+z) = z \ (x+y)(x^2+y^2+2z)=1 \ (x^2+z)^2+z(x+y)^2=1$
 $y=z=0\ x*(x^2)=1\ x=1$ 
  Равенство достигается при $x=1;y=z=0$                          
  В целых числах