Question

Пусть число x+1/x — целое. Для какого наименьшего количества целых чисел k из отрезка [−2014;2014] число x^k+1/(x^k) тоже является целым?

Answer 1

 если 1/х+х целое (к=1), то (1/х+х)² тоже целое, но
(1/х+х)²=1/х²+2+х² => 1/х²+х² целое (к=2)
аналогично (1/х+х)³ тоже целое, но
(1/х+х)³=1/х³+3(1/х+х)+х³ => 1/х³+х³ целое (к=3)
Пусть 1/х^n+х^n  целое для всех n≤к.
Составим произведение двух целых чисел:
(1/х^к+х^к)·(1/х+х) =1/х^(к+1)+х^(к-1)+1/х^(к-1)+х^(к+1)
так как по предположению х^(к-1)+1/х^(к-1) целое,
 то 1/х^(к+1)+х^(к+1) тоже целое.
т.о. если 1/х^к+х^к  целое для к=1, то оно целое для всех целых к.
Легко видеть что для -к и для к=0,  оно тоже целое.
не все поместилось
Хотелось бы исправить решение
Поэтому число значений к удовлетворяющих условию 2·2014+1=4029

Answer 2

если 1/х+х целое (к=1), то (1/х+х)² тоже целое, но
(1/х+х)²=1/х²+2+х² => 1/х²+х² целое (к=2)
аналогично (1/х+х)³ тоже целое, но
(1/х+х)³=1/х³+3(1/х+х)+х³ => 1/х³+х³ целое (к=3)
Пусть 1/х^к+х^к целое для всех к<=к.
Составим произведение двух целых чисел:
(1/х^к+х^к)·(1/х+х) =1/х^(к+1)+х^(к-1)+1/х^(к-1)+х^(к+1)
так как по предположению х^(к-1)+1/х^(к-1) целое,
то 1/х^(к+1)+х^(к+1) тоже целое.
т.о. если 1/х^к+х^к целое для к=1, то оно целое для всех целых к.
Легко видеть что для -к и для к=0,