Question

Доказать, что сумма расстояний от любой точки, взятой внутри правильного многоугольника, до всех прямых, содержащих его стороны, есть величина постоянная.

(Задача не из легких, так как случай общий; буду благодарен за разумное расписанное решение)

Answer 1

Пусть дан правильный многоугольник со стороной равной а. Соединим любую точку  А, взятую внутри правильного многоугольника  со всеми вершинами многоугольника и проведем перпендикуляры на все стороны .Обозначим  их длины d1,d2,d3,…,dn. Площадь многоугольника S=1/2*a*(d1+d2+d3+…+dn). Отсюда d1+d2+d3+…+dn=2S/a. Значит сумма расстояний не зависит от выбора точки.

Answer 2

Ну и что я написал неправильно( если опустить банальности?)

Answer 3

Ну вот : мое решение удалили. А ведь оно было таким же, но высказано куда лаконичнее! Куда интереснее череды формул с обозначениями заметить, что факт верен для любого выпуклого многоугольника с одинаковыми сторонами, потом понять, что речь идет об отношении площади выпуклой фигуры к длине границы. Подумать всегда ли в выпуклую фигуру можно вписать равносторонний многоугольник. А Ваши д1, д2 ...этому только мешают!)

Answer 4

Не бомби , удалили - претензии к модераторам

Answer 5

Ну, я, вообще-то, не Вам писал и, мне кажется, мое замечание вполне доброжелательное. Вы ж не знаете о чем речь, правда? Не все ж общение- сплошные спасибо. А Вы :"не бомбите". НЕТ У МЕНЯ НИ К КОМУ ПРЕТЕНЗИЙ. Удачи!)