Question

Помогите с решением, пожалуйста

Answer 1

Решить уравнение: $x^2 sqrt{x} -33 sqrt{x} cdot sqrt[3]{x} =32x^{- frac{5}{6} }$
 Для начала найдем ОДЗ уравнения, подкоренное выражение должен иметь положительное значение и знаменатель не равно нулю
 $x^2 sqrt{x} -33 sqrt{x} cdot sqrt[3]{x} =32cdot frac{1}{x^{ frac{5}{6} }}$
$left { {{x geq 0} atop {xne 0}} right. ,,,Rightarrow,,,x textgreater 0$
Воспользуемся свойством степеней $a^ncdot a^m=a^{n+m}$
$x^{2+ frac{1}{2} }-33x^{ frac{1}{2} + frac{1}{3} }=32cdot frac{1}{x^{ frac{5}{6} }} \ x^{ frac{5}{2} }-33x^{ frac{5}{6} }=32cdot frac{1}{x^{frac{5}{6} }}$
Пусть $x^{frac{5}{6} }=t,,(t textgreater 0)$, тогда получаем
$frac{1}{t^3}-33cdot frac{1}{t} =32t|cdot t^3\ -32t^4-33t^2+1=0|cdot (-1)\ 32t^4-33t^2-1=0$
Пусть $t^2=a,(a geq 0)$, тогда получаем
$32a^2+33a-1=0\ D=b^2-4ac=33^2-4cdot32cdot(-1)=1217$
$a_1= frac{-33- sqrt{1217} }{64}$ - не удовлетворят условие при a≥0
$a_2= frac{-33+ sqrt{1217} }{64}$
Возвращаемся к замене от a
$t^2= frac{-33+ sqrt{1217} }{64} \ t_1= frac{ sqrt{-33+ sqrt{1217} } }{8}$
$t_2=- frac{ sqrt{-33+ sqrt{1217} } }{8}$ - не удовлетворяет условию
Возвращаемся к замене
$x^{frac{5}{6} }= frac{ sqrt{-33+ sqrt{1217} } }{8} \ x= frac{ sqrt[5]{625680+17936 sqrt{1217} } }{2}$

Ответ: $frac{ sqrt[5]{625680+17936 sqrt{1217} } }{2}$