Question

Пожалуйста решите до завтра !!!

Answer 1

Область определения логарифмов
{ x > 0; x =/= 1
{ 7 - 9x > 0; 7 - 9x =/= 1; x < 7/9; x =/= 6/9
Отсюда
x ∈ (0; 2/3) U (2/3; 7/9)
Есть такое свойство логарифмов: log_a (b) = log_c (b) / log_c (a)
Причем новое основание с может быть любым, например, 10
$frac{lg( frac{7}{ sqrt{x} } -9 sqrt{x} )}{lg (x)} + frac{lg( frac{7}{ sqrt{x} } -9 sqrt{x} )}{lg (7-9x)} geq 0$
Приводим к общему знаменателю
$frac{lg( frac{7}{ sqrt{x} } -9 sqrt{x} )*lg (7-9x) + lg( frac{7}{ sqrt{x} } -9 sqrt{x} )*lg (x)}{lg (x)*lg (7-9x)} geq 0$
Отдельно распишем
$lg( frac{7}{ sqrt{x} } -9 sqrt{x} ) = lg( frac{7-9x}{ sqrt{x} } ) = lg(7-9x)-lg( sqrt{x} )$
Выносим это за скобки
$frac{(lg(7-9x)-lg( sqrt{x} ))*(lg(7-9x)+lg (x))}{[tex] frac{lg^{2}(7-9x)+1/2*lg x*lg(7-9x)-1/2* lg^{2}x }{lg (x)*lg (7-9x)} geq 0$} geq 0[/tex]
$frac{ lg^{2}(7-9x)-1/2*lg x*lg(7-9x)+ lg x*lg(7-9x)-1/2* lg^{2}x }{lg (x)*lg (7-9x)} geq 0$
Делим числитель на lg^2 (x) и умножаем на 2 числ. и знам.
$frac{2(lg(7-9x)/lg x)^2-(lg(7-9x)/lg x)-1}{2lg (x)*lg (7-9x)/ lg^{2} x} geq 0$
Замена lg(7-9x)/lg x = y
$frac{2 y^{2} -y-1}{2y} geq 0$
$frac{(y-1)(2y+1)}{y} geq 0$
По методу интервалов
y ∈ [-1/2; 0)U[1; +∞)
1) $y=frac{lg(7-9x)}{lg(x)}=0; 7-9x=1; x=6/9=2/3$
2) $y=frac{lg(7-9x)}{lg(x)}=1; lg(7-9x)=lg(x); 7-9x=x; x=0,7$
3) $y= frac{lg(7-9x)}{lg(x)}=-1/2; lg(7-9x)=-1/2lgx=lg( frac{1}{ sqrt{x} } )$
$7-9x= frac{1}{ sqrt{x} } ; 7 sqrt{x} -9x sqrt{x} -1=0$
Это кубическое уравнение пришлось решать через Вольфрам Альфа
x1 ~ 0,0216; x2 ~ 0,63875 - не подходит
x ∈ [0,0216; 2/3) U [0,7; +∞)