Question

Найти (в градусах) наименьший положительный корень уравнения
sinx+sin2x+sin3x=1 + cosx+cos2x

a) 30
b) 60
c) 90
d) 150
e) 270

Answer 1

$sin x+sin2x+sin3x=1+cos x+cos2x\ sin x+2sin x| sqrt{1-sin^2x} |+3sinx-4sin^3x=1+|sqrt{1-sin^2x} |+1-2sin^2x$
Пусть $sin x=t$, причем $|t| leq 1$, тогда получаем
$t+2t| sqrt{1-t^2} |+3t-4t^3=2+|sqrt{1-t^2}|-2t^2$
ОДЗ: 1-t²≥0, откуда -1≤t≤1
Пусть $sqrt{1-t^2}=a$, имеем
$4t+2ta-4t^3=2+a-2t^2\-2t(2t^2-a-2)+(2t^2-a-2)=0\ (2t^2-a-2)(-2t+1)=0$
Преобразуем первое уравнение
*********************************************************
$2t^2-a-2=0\ t^2= frac{a+2}{2} \ t=0;,,,, a=-2$
t=0 - не подходит.

ОДЗ $t= sqrt{ frac{a+2}{2} }$ будет a+2≥0, откуда a≥-2, подставив 
$sqrt{1-t^2} textgreater -2\ sqrt{1-t^2} +2 textgreater 0$
Значит решением будет уравнение $1-t^2=0$ откуда $t=pm1$

*********************************************************
Второе уравнение
-2t+1=0
t=0.5

Возвращаемся к замене
$sin x=pm1\ x=pm frac{pi}{2}+2 pi k,k in Z\ \ sin x=0.5\ x=(-1)^{k}cdot frac{pi}{6}+ pi k,k in Z$

Находим наименьший положительный корень.
k=0; x=π/6 = 180/6 = 30 градусов

Ответ: 30 градусов