Question

Отрезки MN и PK равной длины пересекаются в точке O так, что MO=OK. Доказать что:
треугольник MOP=KON, треугольник MPN=KNP

Answer 1

1)треугольник MOP=KON по 2 сторонам и  углу между ними 
ОМ=ОК и  MN=PK по условию следовательно ON=OP, значит ОМ=ОК;NO=OP и угол МОР= углу КОN равны как вертикальные
2)треугольник MPN=KNP по двум сторонам и углу между ними. PN- общая. PK=MN  по условию и углу М= углу К ( равенство углов следует из доказанного , что треугольник MOP=KON)

Answer 2

ОМ=ОК=NO=OP - почему ? с МО = ОК по условию, но не обязательно равно и NO=OP. Может быть МО= ОК и NO=OP. При таком раскладе отрезки MN и PK тоже равны. И в условии не сказано, что О делить отрезки на две равные части

Answer 3

Треугольник MOP=KON (по 2 сторонам и  углу между ними)
 
МO=ОК по условию
ON = MN -MO
OP = PK -OK 
МО=ОК  и MN= PK  значит NO=OP
 угол МОР= углу КОN равны как вертикальные углы

Треугольники MPN=KNP (по двум сторонам и углу между ними)
PN- общая сторона
PK=MN  по условию
и углу РМN= углу NKP (доказательство смотри выше: треугольник MOP=KON  )