Question

Постройте график y=$y= sqrt({4x- x^{2})^{2}}$, и определите при каких значениях k прямая y=kx+9 имеет с графиком 2 общие точки.

Answer 1

1) Упростим функцию:
$y= sqrt{(4x-x^{2})}^{2}=|4x-x^{2}|=|x(4-x)|$
При $x(4-x) geq 0$, 
$0 leq x leq 4$
функция принимает вид: $y=x(4-x)$ - парабола ветвями вниз

При $x(4-x) textless 0$,
$x textless 0, x textgreater 4$
функция принимает вид: $y=x^{2}-4x$ - парабола ветвями вверх

2) Построим график этой функции (см. прикрепленный файл).
3) Прямая не должна касаться части графика $y=x(4-x)$.
Найдем, при каких к прямая будет касательной к графику:
$y'(a)=4-2a$
$y(a)=4a-2a^{2}$
$Y=4a-a^{2}+(4-2a)(x-a)=(4-2a)x+4a-a^{2}-4a+2a^{2}=(4-2a)x+a^{2}=kx+9$
$left { {{k=4-2a} atop {a^{2}=9}} right.$
$left { {{k=4-2a=4-6=-2} atop {a=3}} right.$
При k=-2 прямая y=-2x+9 будет касаться части графика нашей функции, при этом будет иметь три общих точки.

4) Принадлежат ли графику $y=kx+9$ точки: (4;0), (2;4)
$4=k*0+9$ - нет
$4=k*2+9$ при k=-2.5 - да

5) При k∈(-бесконечность; -2) U (-2; +бесконечность) прямая y=kx+9 будет иметь с графиком $y= sqrt{(4x-x^{2})}^{2}$ две общие точки.