Question

Помогите решить систему уравнений :$left { {{7 sqrt[3]{xy}-3 sqrt{xy}=4 } atop {x+y=20}} right.$

Answer 1

ОДЗ: xy≥0
Произведем замену переменных
 Пусть $sqrt[6]{xy} =a$, тогда получаем
$begin{cases} & text{ } 7a^2-3a^3=4 \ & text{ } x+y=20 end{cases}$
Разложим на множители уравнение (1)
*******************************************************
$3a^3-7a^2+4=0$
 Добавим и вычтем слагаемые
$3a^3-3a^2-4a^2+4a-4a+4=0\ 3a^2(a-1)-4a(a-1)-4(a-1)=0\(a-1)(3a^2-4a-4)=0\ a_1=0\ 3a^2-4a-4=0\ D=b^2-4ac=(-4)^2-4cdot3cdot(-4)=64\ a_2=2\a_3=- frac{2}{3}$
***********************************
a=-2/3 - лишний, так как не удовлетворяет ОДЗ
 Имеем 2 системы
$begin{cases} & text{ } sqrt[6]{xy}=1 \ & text{ } x+y=20 end{cases} Rightarrowbegin{cases} & text{ } xy=1 \ & text{ } x=20-y end{cases} \ y(20-y)=1\ -y^2+20y=1\ y^2-20y+1=0\ D=b^2-4ac=(-20)^2-4cdot1cdot1=396\ y_1=10-3 sqrt{11} \y_2=10+3sqrt{11}\x_1=10+3sqrt{11}\ x_2=10-3sqrt{11}$

$begin{cases} & text{ } sqrt[6]{xy}=2 \ & text{ } x+y=20 end{cases}Rightarrowbegin{cases} & text{ } xy=64 \ & text{ } x=20 -y end{cases}\ y(20-y)=64\y^2-20y+64=0\ D=b^2-4ac=(-20)^2-4cdot1cdot64=144\ y_1=4\y_2=16\x_1=16\ x_2=4$

Ответ: $(10+3 sqrt{11} ;10-3sqrt{11} ),,,(10-3sqrt{11} ;10+3sqrt{11} ),,,(16;4),,,(4;16).$

Answer 2

ага пасиб ))))))))

Answer 3

$left { {{7 sqrt[3]{xy} -3 sqrt{xy} =4} atop {x+y=20}} right.$
В 1 уравнении замена xy = t
$left { {{7 sqrt[3]{t}=4+3 sqrt{t} } atop {x+y=20}} right.$
1 уравнение возводим в куб
$left { {{343t = (4+3 sqrt{t} )^{3}= 4^3+3*4^2*3 sqrt{t} +3*4*9t+27 sqrt{t^3}} atop {x+y=20}} right.$
$left { {{343t = 64+144 sqrt{t} +108t+27t sqrt{t}} atop {x+y=20}} right.$
$left { {{64+144 sqrt{t} -235t+27t sqrt{t}=0} atop {x+y=20}} right.$
Новая замена √t = z > 0 при любом t, потому что корень арифметический.
$left { {{27z^3-235z^2+144z+64=0} atop {x+y=20}} right.$
$left { {{27z^3-27z^2-208z^2+208z-64z+64=0} atop {x+y=20}} right.$
$left { {{(z-1)(27z^2-208z-64)=0} atop {x+y=20}} right.$
$left { {{(z-1)(27z^2-216z+8z-64)=0} atop {x+y=20}} right.$
$left { {{(z-1)(z-8)(27z+8)=0} atop {x+y=20}} right.$
Получаем два корня:
1) z = 1
$left { {{z= sqrt{t}= sqrt{xy} =1} atop {x+y=20}} right.$
$left { {{xy=1} atop {x+y=20}} right.$
x и y являются корнями квадратного уравнения, которое по теореме Виета имеет коэффициенты b = 20, c = 1
k^2 - 20k + 1 = 0
D/4 = 100 - 1 = 99 = (3√11)^2
k1 = 10 - 3√11; k2 = 10 + 3√11
x1 = 10 - 3√11. y1 = 10 + 3√11
x2 = 10 + 3√11; y2 = 10 - 3√11

2) z = 8
$left { {{z= sqrt{t}= sqrt{xy} =8} atop {x+y=20}} right.$
$left { {{xy=64} atop {x+y=20}} right.$
x и y являются корнями квадратного уравнения, которое по теореме Виета имеет коэффициенты b = 20, c = 64
k^2 - 20k + 64 = 0
D/4 = 100 - 64 = 36 = 6^2
k1 = 10 - 6 = 4; k2 = 10 + 6 = 16
x3 = 4; y3 = 16
x4 = 16; y4 = 4

3) z = -8/27 < 0  - не подходит, должно быть z > 0 при любом t
Ответ: (10-3√11; 10+3√11); (10+3√11; 10-3√11); (4; 16); (16; 4)