Question

Помогите с высшей математикой. Решите хотя бы один номер. Желательно с подробным описанием.

Answer 1

$7); ; F(x,y)=4x^2-8xy+3y^2+5x-6y$

Необходимые условия экстремума6

$left { {{F'_{x}=8x-8y+5=0} atop {F'_{y}=-8x+6y-6=0}} right. ; left { {{-2y-1=0} atop {-8x+6y-6=0}} right. ; left { {{y=-frac{1}{2}} atop {x=-frac{9}{8}}} right. ; ,; M(-frac{9}{8},-frac{1}{2})$

Достаточные условия:

$F''_{xx}=8; ,; F''_{xy}=-8; ,; F'_{yy}=6$

Так как производные 2 порядка не зависят от х и у, то их значения в стационарной точке М будут теми же, то есть

$A=F''_{xx}(x_0,y_0)=8,; B=F''_{yy}(x_0,y_0)=6; ,; C=F''_{xy}(x_0,y_0)=-8\\Delta = left|begin{array}{ccc}A&C\C&Bend{array}right| =left|begin{array}{cc}8&-8\-8&6end{array}right| =48+64=112 textgreater 0$

$Tak; kak; A=8 textgreater 0,; to ; v ; tochke; M; min.$

$F(-frac{9}{8},-frac{1}{2})=F_{min}(x,y)=4cdot frac{81}{64}-8cdot frac{9}{16}+3cdot frac{1}{4}-5cdot frac{9}{8}+6cdot frac{1}{2}=\\=frac{-84}{64}=-frac{21}{16}$