Question

Решите уравнения:
(x^2 - 3x)*((√14 - 5x) - x) = 0
√x/x+1 + √x+1 = 5/2

Answer 1

1) ОДЗ: $14-5x geq 0 textless = textgreater x leq 14/5$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
а) $x^2-3x=0 textless = textgreater x(x-3)=0 textless = textgreater x_1=0; x_2=3 textgreater 14/5$, значит по ОДЗ подходит только x=0.
б) $sqrt{14-5x} -x=0 textless = textgreater sqrt{14-5x} =x textless = textgreater \ left { {{14-5x=x^2} atop {x geq 0}} right.$ Решаем квадратное уравнение:
$x^2+5x-14=0 \ D=25+56=81=9^2 \ x_1= frac{-5+9}{2} =2 \ x_2= frac{-5-9}{2} =-7 textless 0 \ = textgreater x=2$
Ответ: 0; 2.

2) $sqrt frac{{x}}{x+1} + sqrt { frac{x+1} {x}}= frac{5}{2}$
ОДЗ: (x+1)/x≥0 и x/(x+1)≥0, тогда x принадлежит (-бесконечности;-1) U (0;+бесконечность).
Замена t=√x+1/x:
$t+1/t= frac{5}{2} \ 2t^2+2= 5t \ 2t^2-5t+2=0 \ D=25-16=9=3^2 \ t_1=(5-3)/4=1/2 \ t_2=(5+3)/4=2$
Делаем обратную замену и возводим уравнение в квадрат:
(x+1)/x=1/4 => 4x+4=x => 3x=-4 => x=-4/3
(x+1)/x=4 => x+1=4x =>3x=1 =>x=1/3.
Ответ: -4/3; 1/3.