Question

Очень прошу, помогите пожалуйста решить! Заранее благодарю!!!
№1 Найти множество значений функции
у=(1+8cos^2x)/4
y=sin2xcos2x+2
№2 Найти область определения функции
у=1/(sinx-sin3x)
Спасибо Вам большое!!!

Answer 1

№1
Применяем ограниченность синуса и косинуса
-1≤cosx≤1
Преобразуем правую часть по формуле
$cos^2 alpha = frac{1+cos2 alpha }{2}$

$frac{1+8cos^2x}{4}= frac{1+ 8cdot frac{1+cos2x}{2} }{4}= frac{1+ 4cdot (1+cos2x)}{4}= frac{5+ 4cdot cos2x}{4}$

$-1 leq cos2x leq 1 \ \ -4 leq 4cdot cos2x leq 4 \ \ -4+5 leq 5+4cdot cos2x leq 4+5 \ \1 leq 5+4cdot cos2x leq 9 \ frac{1}{4} leq frac{5+ 4cdot cos2x}{4} leq frac{9}{4}$
Ответ Множество значений
$[ frac{1}{4};2 frac{1}{4}]$

Применяем ограниченность синуса и косинуса
-1≤sinx≤1
Преобразуем правую часть по формуле
$sin alpha cos alpha = frac{sin2 alpha }{2}$

$sin2xcos2x+2= frac{sin4x}{2}+2 \ \ -1 leq sin4x leq 1 \ \ -frac{1}{2} leq frac{sin4x}{2} leq frac{1}{2} \ \ -frac{1}{2} +2leq frac{sin4x}{2}+2 leq frac{1}{2} +2\ \ 1 frac{1}{2} leq frac{sin4x}{2}+2 leq 2frac{1}{2}$

Ответ Множество значений
$[1 frac{1}{2};2 frac{1}{2}]$

 №2 Найти область определения функции
у=1/(sinx-sin3x)
Дробь имеет смысл тогда и только тогда, когда её знаменатель отличен от 0
Найдем при каких х знаменатель равен 0. Решаем уравнение
sinx-sin3x=0
Применяем формулу
$sin alpha -sin beta =2sin frac{ alpha - beta }{2}cdot cos frac{ alpha + beta }{2}$

$2sin frac{ x- 3x }{2}cdot cos frac{ x + 3x }{2}=0 \ \ 2sin(-x)cdot cos 2x=0 \ \ left[begin{array}{ccc}sin(-x)=0\cos2x=0end{array}right$
Так как синус - нечетная функция, то
sin(-x)=-sinx 

sinx=0  ⇒    x=πk,  k∈Z
cos2x=0  ⇒    2x=(π/2)+πn,  n∈Z  ⇒    x=(π/4)+(π/2)n, n∈ Z
Ответ. Область определения: x≠πk,  k∈Z
                                               x≠(π/4)+(π/2)n, n∈ Z