Question

В треугольнике ABC угол C прямой, AB=2 см, угол B=60 градусов, MC перпендикулярен (ABC), MC=2 см. Найдите площадь треугольника AMB.

Напишите решение поподробнее пожалуйста

Answer 1

ΔABC   прямоугольный, ∠С = 90°, ∠B = 60°, AB = 2 см

CH ⊥ AB   - высота треугольника  ABC

$BC = ABcdot cos 60^o=2cdot dfrac 12=1 \\ AC=ABcdot sin 60^o=2cdot dfrac {sqrt3}2=sqrt3 \\ CH=dfrac{BCcdot AC}{AB}=dfrac{1cdot sqrt3}{2}=dfrac{sqrt3}{2}$

МС ⊥ (ABC)  ⇒  MC  перпендикулярна  любой прямой, лежащей в плоскости треугольника ABC  ⇒   MC ⊥ CH

MC ⊥ CH,  CH ⊥ AB   ⇒    MH ⊥ AB   -  по теореме о трёх перпендикулярах.

ΔMCH  - прямоугольный,  ∠MCH = 90°, MC = 2 см,  $CH=dfrac{sqrt3}2$ см.   По теореме Пифагора

$MH^2=MC^2+CH^2=2^2+Big(dfrac{sqrt3}2Big)^2=4+dfrac 34=dfrac{19}4 \ \ MH=sqrt{dfrac{19}4}=dfrac{sqrt{19}}2 \ \ S_{AMB}=dfrac 12cdot ABcdot MH=dfrac 12cdot 2cdot dfrac{sqrt{19}}2=0,5sqrt{19}$

Ответ:  0,5√19 см²