Question

Решите уравнение (sin 2pi*x)+(cos pi*x)=0. В ответ запишите суммукорней уравнения, принадлежащих отрезку [-1;1].

Answer 1

$sin2 pi x+cos pi x=0 newline 2sin( pi x)cos pi x+cos pi x=0$
Тут применили формулу для синуса  двойного угла.
$cos( pi x)*(2sin(pi x)+1)=0$ (2)
Далее уравнение (2) "распадается " на 2 части.
1) $cos pi x=0$    (3)
Решение
$pi x= frac{ pi }{2} + pi k$ где k - целое.
$x=frac{1}{2} + k$ (4)

2) $2sin( pi x)+1=0$  (5)
$sin( pi x)=-1/2 newline pi x=arcsin(-1/2)+2 pi m=- frac{ pi }{6} +2 pi m newline$
$x=- frac{1}{6} +2m$ (6)  где m целое.
 А также
$pi x= pi -arcsin(-1/2)+2 pi l= pi+ frac{pi}{6} +2 pi l \ \ x= 1+ frac{1}{6} +2 l= frac{7}{6}+2l$

$x= frac{7}{6} +2l$  (6a)
Где l - целое.

Все наборы корней нашли. Осталось выделить те из них, которые попадают в отрезок [-1; 1]
Итак из набора (4)
$-1leq frac{1}{2}+k leq 1$
$-1-frac{1}{2}leq k leq 1-frac{1}{2} newline newline -frac{3}{2}leq k leq frac{1}{2}$
k=0 x₀=1/2
k=-1 x₋₁ = -1/2
Из набора (6)
$-1 leq - frac{1}{6} +2m leq 1 newline newline -1+ frac{1}{6} leq 2m leq 1+ frac{1}{6} newline newline - frac{5}{12} leq m leq frac{7}{12}$
m=0 x₃=-1/6

Из набора (6а)
$-1 leq frac{7}{6} +2l leq 1 \ \ -1 -frac{7}{6}leq 2l leq 1-frac{7}{6} \ \ -frac{13}{6}leq 2l leq -frac{1}{6} \ \ -1frac{1}{12}leq l leq -frac{1}{12}$
$l=-1$

$x= frac{7}{6} -2=- frac{5}{6}$

ОТВЕТ: Получаем  4 корня x=-1/2, x=1/2, x=-1/6, x=-5/6.

Answer 2

Спасибо большое!