Question

8. Найдите наименьшее значение функции y=2tgx-4x+П-3 на отрезке [-П/3;П/3]

Answer 1

1) Найдем производную от данной функции

$y' = frac{2}{cos^{2}x} - 4$

2)Найдем критические точки:

 $frac{2}{cos^{2}x} - 4 = 0 \ => cos x = frac{sqrt{2}}{2} \ <=> x = pi + 2 pi k\ x = frac{3pi}{4} + 2 pi n$

3)Найдем корни из заданного промежутка $[-frac{pi}{3}; frac{pi}{3}]$:
    a) $-frac{pi}{3} leq frac{pi}{4} + 2pi kleq frac{pi}{3}| - frac{pi}{4}; :2pi\ -frac{7}{24} leq k leq frac{1}{24}\ => k = 0\ => x = frac{pi}{4}$

    b) $-frac{pi}{3} leq frac{3pi}{4} + 2pi nleq frac{pi}{3}| - frac{3pi}{4}; :2pi\ -frac{13}{24} leq n leq -frac{5}{24}\ => n = 0\ => x = frac{3pi}{4}$

 

4) Из двух найденных корней видно, что $x_{min} = frac{pi}{4}\ => y_{min} = 2 cdot tgfrac{pi}{4} - 4frac{pi}{4} + pi - 3 = -1$

 

Ответ: -1