Question

на отрезке [1;3] наибольшее значение первообразной для функции f(x)=4x+1 равно 22. .Найдите наименьшее значение этой первообразной на данном отрезке

Answer 1

Находим "первообразную":

 

$F(x) = int f(x) dx = int (4x+1) dx = 4frac{x^2}{2} + x + A = 2x^2 + x + A$,

 

где $A = const$ – константа интегрирования

 

Экстремумы у F(x), кстати, будут при:

 

$f(x) = 0 Rightarrow 4x + 1 = 0 Rightarrow x = - frac{1}{4}$

 

А на отрезке от 1 до 3 первообразная монотонно $frac{df}{dx} = 4 > 0$ возрастает. То есть наибольшее значение будет при x=3, а наименьшее — при x=1.

 

Находим константу интегрирования A:

 

$F|_{x=3} = 2 cdot 3^2 + 3 + A = 22$

 

$21 A = 22</var> Rightarrow A = 1$</p> <p> </p> <p>Искомая первообразная имеет вид:</p> <p> </p> <p><img src=[/tex]F(x) = 2x^2 + x + 1" title="21 + A = 22 Rightarrow A = 1" title="F(x) = 2x^2 + x + 1" title="21 + A = 22 Rightarrow A = 1" alt="F(x) = 2x^2 + x + 1" title="21 + A = 22 Rightarrow A = 1" />

 

Искомая первообразная имеет вид:

 

$21 + A = 22</var> Rightarrow A = 1$

 

Искомая первообразная имеет вид:

 

$<var>F(x) = 2x^2 + x + 1" /></var></p> <p> </p> <p>Её значение при x=1:</p> <p> </p> <p>[tex]F(1) = 2 cdot 1^2 + 1 + 1 = 4$