Question

докажите что выражение (sin2a+tg2a)/(cos2a+ctg2a) больше нуля при любом значении a

Answer 1

$frac{sin2a+tg2a}{cos2a+ctg2a} = frac{sin2a+ frac{sin2a}{cos2a} }{cos2a+ frac{cos2a}{sin2a} }=\\ frac{ frac{sin2a*cos2a+sin2a}{cos2a} }{frac{sin2a*cos2a+cos2a}{sin2a}} = frac{sin2a(cos2a+1)sin2a}{cos2a(1+sin2a)cos2a} = \\tg^22a* frac{1+cos^2a-sin^2a}{sin^2a+2sina*cosa+cos^2a}=tg^22a* frac{2cos^2a}{(sina+cosa)^2}$

В последнее выражение все элементы входят как квадраты.
Квадрат любого числа не отрицателен.
В выражении нет операции вычитания, поэтому все выражение сохраняет положительное значение.

Может ли выражение стать равным 0? Нет, не может из-за области определения.
Из последнего выражения видим, что для того, чтобы все выражение стало равным 0, требуется, чтобы либо tg2a стал равен 0, либо cos2a стал равен 0.
Но в исходном задании указана функция ctg2a, обратная tg2a. Поэтому все значения a, при котором tg2a или ctg2a обращаются в 0, исключаются.
Это автоматически исключает точки, в которых обращаются в 0 функции cos2a и sin2a.

Исходя из этого, значение выражения больше 0 при любом значении a из области определения.