Question

Перпендикуляры,опущенные из двух вершин прямоугольника на его диагональ , делят ее на три равные части . меньшая сторона прямоугольника равна A . Найдите
длину большей стороны. Ответы 1)1.5a 2)a.корень из 2 3) 3а 4)а .корень из 3 5) 2a

Answer 1

смотри рисунок
итак,т.к.  AM,CN перпендикуляры к диагонали, то они параллельны. Продолжим CN
Параллельные прямые на сторонах угла отсекают пропорциональные отрезки.  Если MN=ND (по условию), тогда  АР=РD  и NP=AM/2  (кстати, АМ=NC)
треугольники АВМ и СРD подобны. Рассмотрим их.
обозначим стороны для простоты записи как h=AM и b=PD
AM:AB=CD:CP
$h:a= a:frac{3h}{2}$
отсюда  $frac{3h^{2} }{2}= a^{2}$
из треуг. PCD по т.Пифагора
$PD^{2} = PC^{2}-CD^{2} \ b^{2} =( frac{3h}{2})^{2} -a^{2} = frac{9}{4}h^{2}- a^{2} = frac{3}{2}( frac{3}{2} h^{2})- a^{2}= frac{3}{2} a^{2}- a^{2}= frac{ a^{2} }{2}$
$b=a frac{ sqrt{2} }{2}$
Но сторона равна 2b
значит, она равна $a sqrt{2}$