Question

В квадрат со стороной а вписан круг, в круг вписан квадрат, а в этот квадрат вписан второй круг и тд. Определить сумму площадей всех фигур

Answer 1

$S=a^2+ pi frac{a^2}{4}+ frac{a^2}{2}+ pi frac{a^2}{8}+ frac{a^2}{4}+ pi frac{a^2}{16}+$...=
∑$_{n=0}^$∞$frac{1}{2^n}a^2$+∑$_{n=2}^$∞$frac{1}{2^n}pia^2$=
$a^{2} + frac{a^2}{2}+a^2(1+ pi )$∑$_{n=2}$∞$frac{1}{2^n}= frac{3a^2}{2}+a^2(1+ pi ) * frac{1}{2}=2a^2+ frac{ pi a^2}{2}=a^2(2+ frac{ pi }{2} )$