Question

какое устойчивое выражение связано со словом кулига

Answer 1

У черта на куличках 
В глубокой древности кулигами называли поляны в дремучих лесах. Язычники считали их заколдованными. Позже люди расселялись вглубь леса, отыскивали кулиги, поселялись там со всем семейством. Отсюда и пошло выражение: у черта на куличках, т. е. очень далеко.