Question

Решите пожалуйста уравнение 4*cos^4(x)-4*cos^2(x)+1=0 (я решал её на олимпиаде, сейчас хочу свериться с решением) !

Answer 1

$4cos^4x-4cos^2x+1=0\\t=cos^2x; ,; ; 4t^2-4t+1=0; ,; ; (2t-1)^2=0\\t=frac{1}{2}; ; Rightarrow ; ; cos^2x=frac{1}{2}\\cos^2x=frac{1+cos2x}{2}=frac{1}{2}; ; rightarrow ; ; cos2x=0\\2x=frac{pi}{2}+pi n; ,; nin Z\\x=frac{pi}{4}+frac{pi n}{2}; ,; nin Z$

2 способ:   
              $cos^2x=frac{1}{2}\\a)cosx=frac{1}{sqrt2}=frac{sqrt2}{2},x=pm frac{pi}{4}+2pi n\\b)cosx=-frac{sqrt2}{2},x=pm frac{3pi}{4}+2pi k\\Otvet:x=frac{pi}{4}+frac{pi m}{2},min Z$

Answer 2

Здесь не это правило работает, а то, что квадрат выражения НЕОТРИЦАТЕЛЬНОЕ число. Но его можно получить и при возведении в чётную степень любого отрицательного выражения.

Answer 3

Поэтому из уравнения t^2=A следует ВСЕГДА : t=+(корень изА) и t=-(корень из А)

Answer 4

да, я замудрился

Answer 5

Заметь, что сам (корень из А) НЕОТРИЦАТЕЛЕН. Знаки плюс- минус ставят ПЕРЕД корнем

Answer 6

На будующее имей ввиду, что когда получаем уравнения типа (cosx)^2=a или (sinx)^2=a , то лучше пользоваться формулами понижения степени, а не решать потом два уравнения.