Question

В остроугольном треугольнике ABC В остроугольном треугольнике ABC угол A равен 60°, BB1 и CC1 — высоты треугольника и M — середина стороны BC. Докажите, что все стороны треугольника MB1C1 равны.

Answer 1

У прямоугольных треугольников ВВ1С и ВС1С общая гипотенуза ВС. 
Радиус описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности равен половине гипотенузы.
Середина М этой гипотенузы - центр общей окружности, которую можно описать вокруг обоих прямоугольных треугольников.
Известно, что величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла. 
Величина угла А =60º по условию.
 Дуга ВеС равна 180º, как дуга, стягиваемая  диаметром. 
Отсюда
∠А= (⌣ ВеС - ⌣В1С1):2 
120º=180º - ⌣В1С1 
⌣В1C1=60º 
Треугольник С1МВ1 - равнобедренный, т.к. МС1 и МВ1 - радиусы. Центральный угол С1МВ1 опирается на дугу, равную 60º, следовательно, равен ей. 
Углы МС1В1 и МВ1С1 равна как углы при основании равнобедренного треугольника: и равны (180º-60º):2=60º
Если все углы треугольника равны, он - равносторонний. 
Все стороны ∆ МВ1С1 - равны, что и требовалось доказать.