Question

докажите, что 7^2n-5^2n делится на 24 при любом натуральном n

Answer 1

Решим это методом мат. индукции
  1) Базис индукции
     n=1
$(7^2-5^2),,vdots,,24\ 24,,vdots,,24$ - Выполняется
2) Допустим что при n=k
 $(7^{2k}-5^{2k}),,vdots,,24$ тоже выполняется

3) Индукционный переход
  n=k+1
$(7^{2k+2}-5^{2k+2}),,vdots,,24\ (49cdot7^{2k}-25cdot5^{2k}),,vdots,,24\ ((24+25)cdot7^{2k}-25cdot5^{2k}),,vdots,,24$
$(25(7^{2k}-5^{2k})+24cdot7^{2k}),,vdots,,24\ ,,,,,,.,,,,,,,,,,,,,,,vdots,,24,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,vdots,,24$


Что и требовалось доказать