Question

Найдите наименьшее значение функции

Answer 1

$y'=(2x-39)*e^{2-x}-(x^{2}-39x+39)*e^{2-x}=e^{2-x}*(2x-39-x^{2}+39x-39)=e^{2-x}*(-x^{2}+41x-78)=0$
$e^{2-x}*(-x^{2}+41x-78)=0$
$e^{2-x} neq 0$
$-x^{2}+41x-78=0$
$x^{2}-41x+78=0, D=41^{2}-4*78=1369=37^{2}$
$x_{1}= frac{41-37}{2}=2$ - точка минимума
$x_{2}= frac{41+37}{2}=39$ - точка максимума

При х∈(-∞;2)U(39;+∞) производная отрицательная, функция убывает
При х∈(2; 39) производная положительная, функция возрастает

x∈[0;6] - в этот интервал попадает точка минимума х=2:
$y(2)=(4-78+39)*e^{2-2}=-35$
$y(0)=39*e^{2} textgreater 0$
$y(6)=(36-234+39)*e^{2-6}=-159*e^{-4}=- frac{159}{e^{4}}$

Ответ: наименьшее значение функции на [0;6] равно -35

Answer 2

y`=(x²-39x+39)`*e^(2-x)+(e^(2-x))`*(x²-39x+39)=(2x-39)*e^(2-x)-e^(2-x)*(x²-39x+39)=
=e^(2-x)*(2x-39-x²+39x-39)=e^(2-x)*(-x²+41x-78)=0
e^(2-x)>0 при любом х
х²-41х+78=0
х1+х2=41 и х1*х2=78
х1=2∈[0;6]
х2=39∉[0;6]
y(0)=39*e²≈39*7,4≈288,6
y(2)=(4-78+39)*1=-35 наименьшее
y(6)=(36-234+39)*e^-4=-159/e^4≈-159:(54,6)≈-3