Question

Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a - 2b и a + b, если модуль вектора а =sqrt 2, модуль вектора b = 4, угол (a, b)=45 градусам

Answer 1

Обозначим
$vec c=vec a-2vec b \ \ vec d=vec a+vec b$
Как известно, площадь параллелограмма равна длине вектора, который называется векторным произведением векторов с и d
Выразим веторное произведение векторов с и d через данные векторы a и b 
 × - знак векторного произведения.

$[vec c times vec d]=[(vec a-2vec b)times (vec a+vec b)]=[vec a times vec a]-2[vec btimes vec a]+[vec atimesvec b]+[vec btimes vec b]=0+2[vec atimes vec b]+[vec atimes vec b]=3[vec atimes vec b]$

Использованы дистрибутивные законы, скобки раскрыты по правилу умножения многочленов. Во втором слагаемом используем свойство антикоммутативности векторного произведения.

Векторное произведение вектора а на вектор b численно равно площади параллелограмма построенного на векторах а и b:

$S=|vec a|cdot |vec b|cdot sin pi = sqrt{2}cdot 4 cdot frac{ sqrt{2} }{2}=4$

S параллелограмма построенного на векторах c и d  в три раза больше
Ответ. 12  кв ед