Question

Многочлен x⁴-4x³+2x²+12x-15 разложить на линейные и квадратные множители с действительными коэффициентами (квадратичные множители - с отрицательным дискриминантом). Один из его корней равен 2+i. Прошу помощи люди добрые!

Answer 1

$x^{4}-4 x^{3}+2 x^{2} +12x+15=0$

Раскладываем с помощью МНК (метода неопределенных коэффициентов)
Знаем, что любое уравнение четвертой степени раскладывается на два квадратных по принципу:

$( x^{2} +ax+b)( x^{2} +cx+d)= = x^{4}+ x^{3}(c+a)+ x^{2} (d+a+b)+x(ab+bc)+db$

имеем систему
$left { {{c+a=-4} atop {d+a+b=2}}}right. left { {{ad+bc=12} atop {bd=-15}} right.$

рассмотрим методом подбора 
в= -3 d=5
a=-4-c
подставим во второе

$(-4-c)*5-3c=12 -8c=32 c=-4 a=0$

проверим по второму уравнению
d+a+b= 5+0-3= 2

нам подходит. Тогда запишем в виде

$( x^{2} +ax+b)( x^{2} +cx+d)= ( x^{2} -3)( x^{2} -4x+5)$

рассмотрим второй множитель

$x^{2} -4x+5=0 D=16-20 textless 0$

корней нет

$(x- sqrt{3})(x+ sqrt{3})( x^{2} -4x+5)$