Question

1. Найти сумму 16 членов арифметической прогрессии, если при делении ее восьмого члега на второй в частном получается 4 и в остатке 3, а одиннадцатый ее член в 4 раза больше третьего

2. ПЕрвый член арифметической прогрессии в 3 раза больше ее разности, сумма членов прогрессии равна 99. Если число членов прогрессии увеличить в 2 раза, то их сумма будет равна 306. Найти первоначальное число членов прогресии

3. В арифметической прогрессии сумма десятого и двенадцатого членов равна 6. Найти сумму третьего, тринадцатого и семнадцатого членов этой прогресии.

Answer 1

1. $a_8=4a_2+3; a_{11}=4a_3;\ a_n=a_1+(n-1)*d;\ a_1+7d=4(a_1+d)+3;\ a_1+10d=4(a_1+2d);\ a_1+7d=4a_1+4d+3;\ a_1+10d=4a_1+8d;\ -3a_1=-3d+3;\ -3a_1=-2d;\ -2d=-3d+3;\ d=3;\ -3a_1=-2*3;\ a_1=2;\ S_n=frac{2a_1+(n-1)*d}{2}*n;\ S_{16}=frac{2*2+(16-1)*3}{2}*16=392$

 

$a_1=3d; S_n=99;\ S_{2n}=306;\ S_n=frac{2a_1+(n-1)*d}{2}*n=frac{2*3d+(n-1)*d}{2}*n=frac{n+5}{2}*dn=99;\ S_{2n}=frac{2*3d+(2n-1)*d}{2}*2n=frac{2n+5}{2}*2nd=306;\ 306:99=2(2n+5):(n+5);\ 306(n+5)=2*99(2n+5);\ 153(n+5)=99(2n+5);\ 17(n+5)=11(2n+5);\ 17n+85=22n+55;\ -10n=-30;\ n=3$

 

$a_{10}+a_{12}=6;\ a_n=a_1+(n-1)*d;\ a_1+9d+a_1+11d=6;\ 2a_1+20d=6;\ a_1+10d=3\ a_3+a_{13}+a_{17}=a_1+2d+a_1+12d+a_1+16d=3a_1+30d=3(a_1+10d)=3*3=9$