Question

Найти ось симметрии графика функции у=(х-3)^4+2*(x-3)^2+5
(не выполняя построений)

Answer 1

Определяем: $x-3=:alpha$ и подставляем в функцию. Получаем:
$f(alpha)=alpha^4+2alpha^2+5$
Предположение: $f(alpha)$ - чётная функция.
Доказательство:
$f(-alpha)=(-alpha)^4+2(-alpha)^2+5=(-1)^4alpha^4+2(-1)^2alpha^2+5=\ =alpha^4+2alpha^2+5=f(alpha)$
Получили $f(-alpha)=f(alpha)$, следовательно - чётная.

Ось симметрии любой чётной функции - ось $Y$, в нашем случае: $alpha=0$

Обратно подставляем $x$, чтоб найти ось симметрии по $x$:
$x-3=alpha=0 Rightarrow x-3=0 Rightarrow x=3$
Ось симметрии функции $f(x)=(x-3)^4+2(x-3)^2+5$ - это $x=3$.