Question

Дано: А(3;-1;3) В(3;-2;2) С(2;2;3) Д(1;2;2)
Найти угол между прямыми АВ и СД

Answer 1

Решим через скалярное произведение векторов.

$displaystyle A(3;-1;3),; B(3;-2;2)\ vec{AB} =(3-3;-2-(-1);2-3)=(0;-1;-1)$

$displaystyle C(2;2;3),; D(1;2;2)\ vec{CD} =(1-2;2-2;2-3)=(-1;0;-1)$

Вычислим скалярное произведение:$displaystyle vec{AB} cdot vec{CD} =0cdot (-1)+(-1)cdot 0+(-1)cdot (-1)=\ =0+0+1=1$

При этом верно и другое:

$displaystyle vec{AB} cdot vec{CD} =|vec{AB} |cdot |vec{CD} |cdot cos{alpha }$, где α - угол между векторами.

$displaystyle |vec{AB} |=sqrt{0^2+(-1)^2+(-1)^2} =\ =sqrt{0+1+1} =sqrt2$

$displaystyle |vec{CD} |=sqrt{(-1)^2+0^2+(-1)^2} =\ =sqrt{1+0+1} =sqrt2$

Получаем:

$displaystyle cos{alpha } =frac{vec{AB} cdot vec{CD} }{|vec{AB} |cdot |vec{CD} |} =frac1{sqrt2 cdot sqrt2} =frac12$

$displaystyle alpha =arccos{frac12 } =60^{circ }$

Угол между прямыми не превышает 90° (между векторами не превышает 180°), 60° < 90°. Искомый угол равен 60°.

Ответ: 60°.