Question

По данным двум сторонам и углу между ними найдите третью сторону и остальные два угла треугольника: a=8 см, b=15 см, угол гамма=120 градусов

Answer 1

По теореме косинусов найдём CA:

$CA^2=a^2+b^2-2*a*b*cos120^{circ}\\CA^2=8^2+15^2-2*8*15*(-frac{1}{2})\\CA^2=64+225+8*15\\CA^2=64+225+120=409\\CA=sqrt{409}$

Теперь по теореме синусов найдём один из углов, пусть это угол напротив стороны BA , найдём угол C:

$frac{CA}{sinB}=frac{BA}{sinC}\\frac{sqrt{409}}{sin120^{circ}}=frac{15}{sinC}\\frac{sqrt{409} }{frac{sqrt{3} }{2} }=frac{15}{sinC}\\frac{2sqrt{409} }{sqrt{3} }=frac{15}{sinC}\\frac{2sqrt{1227} }{3}=frac{15}{sinC}\\2sqrt{1227}sinC=45\\sinC=frac{45}{2sqrt{1227} }$

Отсюда ∠C=$arcsin(frac{45}{2sqrt{1227} })approx39, 96 ^{circ}$

В сумма углов треугольника = 180°

Найдём ∠A

$180^{circ}-(120^{circ}+39,96 ^{circ})=180^{circ}-159,96^{circ}approx20,04^{circ}$