Question

являются ли однокоренными слова дорога и дорожить. объясните почему

Answer 1

нет , они не однокоренные. Так как , слово дорога  обозначает землю, а точнее, о по-чему мы ходим. А дорожить это беспокоиться о ком либо. Однокоренные слова к слову ДОРОГА- дорожный, придорожный. 
Однокоренные слова к слоу ДОРОЖИТЬ - дорогой, дорожающий