Question

найти площадь фигуры ограниченной линиями с помощью двойного интеграла y=5/x, y=10*e^x, у=5, у=10

Answer 1

$y=frac{5}{x}; ; to ; ; x=frac{5}{y}\\y=10e^{x}; ; to ; ; e^{x}=frac{y}{10}; ,; x=lnfrac{y}{10}\\S=iint _{D}dx, dy=int _5^{10}dyint _{lnfrac{y}{10}}^{frac{5}{y}}, dx=int_5^{10}(x|_{lnfrac{y}{10}}^{frac{5}{y}})dy=int_5^{10}(frac{5}{y}-lnfrac{y}{10})dy;\\int _5^{10}, lnfrac{y}{10}dy=[, u=lnfrac{y}{10}; ,du=frac{dy}{y}; ,dv=dy,; v=y, ]=\\=ycdot lnfrac{y}{10}|_5^{10}-int _5^{10}dy=10cdot ln1-5cdot lnfrac{1}{2}-y|_5^{10}=\\=0+5cdot ln2-(10-5)=5ln2-5$

$S=int_5^{10}frac{5}{y}dy-(5ln2-5)=5cdot ln|y||_5^{10}-5ln2+5=\\=5(ln10-ln5)-5ln2+5=5lnfrac{10}{5}-5ln2+5=5$