Question

Помогите найти пределы:(с полным решением плиз, хочу понять, как это делается)

Answer 1

1)$lim_{x to 1} frac{x^3+x^2-3x+1}{x^3-1}= lim_{x to 1} frac{(x-1)(x^2+2x-1)}{(x-1)(x^2+x+1)} =lim_{x to 1} frac{x^2+2x-1}{x^2+x+1}=frac{1+2-1}{1+1+1}$=$frac{2}{3}$

2)$lim_{x to 3} frac{ sqrt{x+1}-2 }{sqrt{x-2}-1}=lim_{x to 3} frac{ (sqrt{x+1}-2)(sqrt{x+1}+2) }{(sqrt{x-2}-1)(sqrt{x+1}+2)}$
$=lim_{x to 3} frac{ (x+1-4) }{4(sqrt{x-2}-1)}=lim_{x to 3} frac{ (x-3)(sqrt{x-2}+1) }{4(sqrt{x-2}-1)(sqrt{x-2}+1)}=$
$lim_{x to 3} frac{ 2(x-3) }{4(x-2-1)}= frac{1}{2}$

3)$lim_{x to 0}frac{tgx-sinx}{xsin^2x} =lim_{x to 0}frac{ frac{sinx}{cosx} -sinx}{xsin^2x}=lim_{x to 0}frac{ frac{1}{cosx} -1}{xsinx}=$
$=lim_{x to 0}frac{ 1-cosx}{xsinx}=lim_{x to 0}frac{ 1-(1- frac{x^2}{2} )}{x*x}=lim_{x to 0}frac{ frac{x^2}{2} }{x^2}= frac{1}{2}$

4)$lim_{x to infty} ( frac{x+2}{x-3} )^{5x}=e^{ln( lim_{x to infty} ( frac{x+2}{x-3} )^{5x})}=e^{ lim_{x to infty} (ln( frac{x+2}{x-3} )^{5x})}=$
$=e^{ lim_{x to infty} (5x*ln( frac{x+2}{x-3} ))}=e^{ lim_{x to infty} frac{ln( frac{x+2}{x-3} )}{ frac{1}{5x} }}=e^{ lim_{x to infty} frac{ln( frac{(x-3)+5}{x-3} )}{ frac{1}{5x} }}=$
$=e^{ lim_{x to infty} frac{ln( 1+frac{5}{x-3} )}{ frac{1}{5x} }}=e^{ lim_{x to infty} frac{frac{5}{x-3} }{ frac{1}{5x} }}=e^{ lim_{x to infty} frac{25x}{x-3} }=e^{25}$