Question

В геометрической прогрессии cn=54; q=3; Sn=80 2/3. Найти с1 и n.

Answer 1

Из формулы n-го члена геометрической прогрессии:

                                    $boxed{rm c_n=c_1q^{n-1}}$

Выразим первый член этой прогрессии:

$rm c_1=dfrac{c_n}{q^{n-1}}=dfrac{54}{3^{n-1}}=dfrac{162}{3^n}$

$rm S_n=dfrac{c_1left(1-q^nright)}{1-q}$ - сумма первых n членов геометрической прогрессии.

Подставим $rm c_1$ в сумму, получим

$rm 80dfrac{2}{3}=dfrac{162cdot left(1-3^nright)}{3^ncdot (1-3)}~~~Leftrightarrow~~~dfrac{242}{3}=dfrac{81cdotleft(3^n-1right)}{3^n}\ \ 242cdot 3^n=243cdot left(3^n-1right)\ \ 242cdot 3^n=243cdot 3^n-243\ \ 3^n=243\ \ 3^n=3^5~~~~Leftrightarrow~~~~ boxed{rm n=5}$

Первый член геом. прогрессии: $rm c_1=dfrac{162}{3^5}=dfrac{2}{3}$