Question

Докажите с помощь мат. индукцией 2^n>5n+1, n>=5

Answer 1

Примем за базу индукции n=5. Проверим истинность выражения при n=5:
$2^5 textgreater 5*5+1 \ 32 textgreater 26$ . 
Получили верное неравенство => базис доказан. 

Теперь предположим, что неравенство справедливо при некотором n=k>=5, т.е. выполняется: 
$2^k textgreater 5k+1$ .
Доказав истинность выражения при n=k+1, в соответствии с принципом математической индукции, мы докажем и истинность выражения при n>=5.
$\2^{k+1} textgreater 5*(k+1)+1$
Используем наше предположение:
$2^k textgreater 5k+1$ => $2^k*2 textgreater 2*(5k+1)$ => $2*(5k+1) textgreater 5k+6$
$10k+2 textgreater 5k+6$ . 

Проверим истинность последнего неравенства:
$10k+2 textgreater 5k+6\5k textgreater 4$
$k textgreater 0.8$ . 

Т.е. последнее неравенство верно для всех k>0.8, но, по нашему предположению, k>=5, а значит, выражение истинно при всех n=k+1, что и требовалось доказать.