Question

два автомобиля выехали одновременно навстречу друг другу и через 30 часов встретились за сколько часов каждый автомобиль пройдёт эту трассу, если первый затратит на эту дорогу на 11 часов больше

Answer 1

Примем длину трассы за 1.
Обозначим скорости первого и второго автомобилей v₁ и v₂ соответственно.
За 30 ч автомобили вместе преодолели всю трассу, т.е. 30(v₁+v₂)=1.
За это время первый автомобиль проехал расстояние 30v₁, а второй - 30v₂.
До преодоления всей трассы первому автомобилю нужно проехать то расстояние, который проехал до встречи второй автомобиль и наоборот. При этом на преодоление этих участков первый автомобиль затратит на 11 ч больше (т.к. до точки рандеву они двигались одно и тоже время, а на преодоление всей трассы первому автомобилю требуется на 11 ч больше).
Время первого автомобиля на второй участок трассы: 30v₂/v₁/ Время второго - 30v₁/v₂. Разность между ними равна 11.

Имеем систему уравнений:
$left{{{30(v_1+v_2)=1}atop{frac{30v_2}{v_1}-frac{30v_1}{v_2}=11}}right.\ left{{{30(v_1+v_2)=1}atop{30(v_2^2-v_1^2)=11v_1v_2}}right.\\30(v_2^2-v_1^2)=30(v_2+v_1)(v_2-v_1)={30(v_1+v_2)=1}=v_2-v_1\v_2-v_1=11v_1v_2 |:v_1v_2\frac{1}{v_1}-frac{1}{v_2}=11\frac{1}{v_1}=11+frac{1}{v_2}\v_1=frac{1}{11+frac{1}{v_2}}=frac{v_2}{11v_2+1}\v_1=frac{1}{30}-v_2\frac{v_2}{11v_2+1}=frac{1-30v_2}{30}\30v_2=(1-30v_2)(11v_2+1)=-330v_2^2-19v_2+1\330v_2^2+49v_2-1=0\D=49^2+4*330=2401+1320=3721$
$sqrt{D}=sqrt{3721}=61\v_{2_1}=frac{-49+61}{2*330}=frac{12}{12*55}=frac{1}{55}\v_{2_2}=frac{-49-61}{2*330} textless 0$
Второй корень отбрасываем, т.к. скорость не может быть отрицательной.
Значит, скорость второго автомобиля 1/55 и весь путь (длиной 1) второй автомобиль проедет за 1/(1/55)=55 ч. Первый же автомобиль, двигаясь на 11 ч дольше, проедет за 55+11=66 ч (его скорость, соответственно, 1/66).

Проверка: общая скорость автомобилей равна 1/66+1/55=(5+6)/5*6*11=1/30. Раз они встретились, то вместе проехали весь путь, т.е. 1. И затратили на это 1/(1/30)=30 ч.