Question

Из всех прямоугольников с периметром p найти прямоугольник наибольшей площади .

Answer 1

дан прямоугольник со сторонами а и в
тогда периметр
$displaystyle p=2(a+b)\\a+b=p/2\\a=p/2-b= frac{p-2b}{2}$

найдем площадь

$displaystyle S=a*b= frac{p-2b}{2}*b= frac{pb-2b^2}{2}= frac{1}{2}(-2b^2+pb)$

при каком значении b площадь будет наибольшей? 
мы видим то что y=-2b²+pb это парабола, ветви вниз 
значит наибольшее значение она примет в своей вершине

$displaystyle b_0= frac{-p}{2*(-2)}= frac{p}{4}$

значит если b=p/4 то площадь будет наибольшей. 
чему равно а? 
$displaystyle a= frac{p-2*p/4}{2}= frac{p-p/2}{2}= frac{p}{4}$

Значит если a=b=p/4 мы получим наибольшую площадь
и фигура у коротой а=в - квадрат