Question

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O, и диагональ BD равна стороне ромба. Найдите угол между векторами: а) AB и AD; б) AB и DA; в) BA и AD; г) OC и OD; д) AB и CD
Желательно объяснить КАК РЕШИТЬ хотя бы одно

Answer 1

Пусть стороны ромба $AB+BC+CD+AD=2x$.
Тогда и диагональ $BD=2x$. Так как диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам, то $BO=OD= frac{BD}{2} = frac{2x}{2} =x$.
По теореме Пифагора найдем АО и СО: $AO=CO= sqrt{AB^2-BO^2} =sqrt{(2x)^2-x^2} = sqrt{3x^2} =x sqrt{3}$

Введем систему координат с началом в точке О, причем, так как диагонали ромба пересекаются по прямым углом, ось х сонаправим с вектором ОС, а ось у сонаправим с вектором ОВ.
Находим координаты точек О, А, В, С,D:
О(0; 0); A(-x√3; 0); B(0; x); C(x√3; 0); D(0; -x)

Угол α между двумя векторами $vec{a}{a_x; a_y}$ и $vec{b}{b_x; b_y}$ можно найти по формуле: $alpha =arccos cfrac{a_xb_x+a_yb_y}{ sqrt{a_x^2+a_y^2}cdot sqrt{b_x^2+b_y^2}}$

а)
Каждая координата вектора высчитывается как разность между соответствующими координатами конца и начала вектора:
$vec{AB}={0-(-x sqrt{3}); x-0 }={x sqrt{3}; x } \ vec{AD}={0-(-x sqrt{3}); -x-0 }={x sqrt{3}; -x } \ alpha =arccoscfrac{x sqrt{3}cdot x sqrt{3}+xcdot(-x) }{ sqrt{(x sqrt{3})^2+x^2 } sqrt{(x sqrt{3})^2+(-x)^2} } = \ =arccoscfrac{3x^2-x^2 }{ sqrt{3x^2+x^2} sqrt{3x^2+x^2} } =arccoscfrac{2x^2 }{2xcdot2x } =arccoscfrac{1 }{2 } = cfrac{ pi }{3}$
Или: воспользоваться тем что треугольник АВD равносторонний, а значит каждый его угол равен 60 градусов

б)
$vec{AB}={x sqrt{3}; x } \ vec{DA}=-vec{AD}={-x sqrt{3}; x } \ alpha =arccoscfrac{x sqrt{3}cdot (-x sqrt{3})+xcdot x }{ sqrt{(x sqrt{3})^2+x^2 } sqrt{(-x sqrt{3})^2+x^2} } = \ =arccoscfrac{-3x^2+x^2 }{ sqrt{3x^2+x^2} sqrt{3x^2+x^2} } =arccoscfrac{-2x^2 }{2xcdot2x } =arccos(-cfrac{1 }{2 } )= cfrac{ 2pi }{3}$
Или: воспользоваться тем что искомый угол можно найти как смежный с найденным в пункте а), а значит равный 180-60=120 градусов

в)
$vec{BA}=-vec{AB}={-x sqrt{3}; -x } \ vec{AD}={x sqrt{3}; -x } \ alpha =arccoscfrac{-x sqrt{3}cdot x sqrt{3}-xcdot (-x) }{ sqrt{(-x sqrt{3})^2+(-x)^2 } sqrt{(x sqrt{3})^2+(-x)^2} } = \ =arccoscfrac{-3x^2+x^2 }{ sqrt{3x^2+x^2} sqrt{3x^2+x^2} } =arccoscfrac{-2x^2 }{2xcdot2x } =arccos(-cfrac{1 }{2 } )= cfrac{ 2pi }{3}$

г)
$vec{OC}={x sqrt{3}-0; 0-0 } ={x sqrt{3}; 0 } \ vec{OD}={0-0; -x-0 } ={0; -x } \ alpha =arccoscfrac{x sqrt{3}cdot 0+0cdot (-x) }{ sqrt{(x sqrt{3})^2+0^2 } sqrt{0^2+(-x)^2} } =arccos0= cfrac{ pi }{2}$
Или: воспользоваться тем что диагонали ромба перпендикулярны, а значит искомый угол равен 90 градусов

д)
$vec{AB}={x sqrt{3}; x } \ vec{CD}={0-xsqrt{3}; -x-0 } ={-xsqrt{3}; -x } \ alpha =arccoscfrac{x sqrt{3}cdot (-x sqrt{3})+xcdot (-x) }{ sqrt{(x sqrt{3})^2+x^2 } sqrt{(-x sqrt{3})^2+(-x)^2} } = \ =arccoscfrac{-3x^2-x^2 }{ sqrt{3x^2+x^2} sqrt{3x^2+x^2} } =arccoscfrac{-4x^2 }{2xcdot2x } =arccos(-1)= pi$
Или: воспользоваться тем что заданные векторы лежат на параллельных сторонах ромба, но направлены в противоположные стороны, значит угол равен 180 градусов