Question

Докажите, что $S_{MNKT} = frac{1}{3} S_{ABCD}$

Answer 1

По данному рисунку следует доказать, что  Ѕ NKTM=1/3 Ѕ АВСD 
----------------
Теорема Фалеса: 
Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой пропорциональные отрезки.
Обратная теорема Фалеса: 
Если прямые, пересекающие две другие прямые (параллельные или нет), отсекают на обеих из них равные (или пропорциональные) между собой отрезки, начиная от вершины, то такие прямые параллельны-
------------
Т.к. обе боковые стороны четырехугольника АВСД поделены на равные отрезки, то  AB || MN || KT || CD, и четырехугольник АВСD - трапеция. 
Для удобства повернем трапецию влево так, чтобы ее основанием стала сторона АВ. 
Пусть АВ=d; MN=c; KT=b; CD=a 
Проведем высоту DН=h 
Ѕ АВСD=h*(а+d):2 
Так как все отрезки на боковых сторонах трапеции равны, средняя линия трапеции  ABCD проходит посередине четырехугольника NKTM и
(a+d):2= (b+c):2 
Запишем Ѕ АВСD=h*(b+c):2 
Высота трапеции параллельными прямыми  также делится на три равные части. следовательно, высота четырехугольника NKTM равна h:3 
Его площадь равна  произведению высоты на полусумму оснований, т.е . 
Ѕ NKTM= [h*(b+c):2]:3. ⇒ 
Ѕ NKTM=1/3 Ѕ АВСD . ч.т.д.