Question

Основа піраміди ромб, більша діагональ d, гострий кут 60°. Всі двогранні кути при основі дорівнюють 60°. Знайти площу повної поверхні піраміди.

Answer 1

Основание пирамиды - ромб. Большая диагональ d, острый угол =60°. Все двугранные углы при основании равны 60°. Найти площадь полной поверхности пирамиды. 
Двугранные углы при основании равны 60°, значит,  проекции апофем равны между собой и равны радиусу вписанной в данный ромб окружности. 
Сделаем рисунок пирамиды SABCD и отдельно ее основания АВСD.
АС=d
АО=d/2
Сумма углов при стороне параллелограмма равна 180°⇒
∠ABC=180°-60°=120°
∠ABO=120°:2=60°
сторона ромба АВ=АО:sin 60°=d/√3
∠ОАВ=ОАD=60°:2=30°
ОН=АО:2=d/4 (противолежит углу 30°)
Апофема SH=OH/cos∠OHS= (d/4):cos60°=(d/4):1/2=d/2=0,5d
Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме  площадей ее четырех боковых граней и основания. 
S ASD=AD*SH:2=[0,5d*d/√3];2=0,25d²/√3
Площадь боковой поверхности 
Ѕбок=4*0,25d²/√3=d²/√3
Площадь основания=площадь ромба
Треугольник АВD- равносторонний.
Высота ромба ВМ=АО=d/2
S ABCD=AD*ВМ=(d²/√3):2
Sполн==(d²/√3):2+d²/√3=3d²/2√3=(d²√3):2