Question

Приведите пример матрицы А размера 3х3,что А^2 не равно 0,а А^3=0
(Здесь 0,нулевая матрицы)

Answer 1

Рассуждаем следующим образом.
Чтобы А³ была нулевой матрицей, но чтобы при этом матрица А² не была нулевой, нужно чтобы в матрице А² все элементы кроме одного были равны нулю. Тогда в матрице А должны быть все элементы кроме двух равны нулю. Таким условиям отвечает, матрица, в которой, например два элемента находящихся на линии, параллельной главной диагонали, равны 1, а все остальные элементы матрицы равны нулю:
$left[begin{array}{ccc}0&1&0\0&0&1\0&0&0end{array}right]$
Или:
$left[begin{array}{ccc}0&0&0\1&0&0\0&1&0end{array}right]$
Тогда при возведении первой матрицы в квадрат получим матрицу:
$left[begin{array}{ccc}0&0&1\0&0&0\0&0&0end{array}right]$
А при возведении второй матрицы в квадрат получим:
$left[begin{array}{ccc}0&0&0\0&0&0\1&0&0end{array}right]$
А возведя в третью степень обе матрицы, получим нулевые матрицы.
Ответ: $left[begin{array}{ccc}0&1&0\0&0&1\0&0&0end{array}right]$или$left[begin{array}{ccc}0&0&0\1&0&0\0&1&0end{array}right]$