Точки M и N середины сторон соответственно BC и CD параллелограмма ABCD. Отрезки AM и BN пересекаются в точке О.Найдите отношение MO/OA.
Ответы
Пусть O — точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Тогда O — середина диагонали BD. Значит, CO — медиана треугольника BCD, а т.к. DM и BN — две другие медианы этого треугольника, то они пересекаются в точке, лежащей на отрезке CO, а значит, и на отрезке AC.
В M C
O
N
A D K
Продлим BN до пересечения с AD в точке K. Треугольники BNC DNK равны по стороне и прилежащим к ней углам (CN=DN, угол BNC=DNK - вертикальные, угол BCN=NDK - внутренние накрест лежащие при BC||AK, секущей CD). Значит BC=AD=DK, AK=2AD=4BM (BC=2BM).
Треугольник BOM подобен АОК (по трем углам: ВОМ=АОК-вертикальные, ОАК=ВМО-внутренние накрест лежащие при параллельных ВМ и АК, секущей АМ, третьи углы равны из равенства двух первых углов). Тогда ВМ:АК=ВМ:4ВМ=1:4 и ОВ:АО тоже 1:4
.
BN ∩ AD = L
ΔBNC = ΔLND по стороне и двум углам прилежащим к ней (CN=DN по условию; ∠BNC=∠LND как вертикальные; ∠NCB=∠NDL как накрест лежащие), поэтому BC=LD.
Пусть BM = x, тогда BC = 2x.
LD=BC=AD ⇒ AL=2BC=4x
ΔMOB ~ ΔAOL по трём углам (∠MOB=∠AOL как вертикальные; ∠OBM=∠OLA и ∠OMB=∠OAL как накрест лежащие), поэтому
Ответ: 1/4.