Question

Постройте график функции $y=cos(x/2)+1$, предварительно указав ее область определения и область значений. На интервале (-2п;2п) найти промежутки монотонности функции.

Answer 1

 Функция cos x монотонна на промежутках [πk,π(k+1)], причем при при четных k функция убывает, а при нечетных - возрастает. График функции cos x/2 ужат по оси х на π/2, значит, и ее промежутки получаются делением на π/2. Слагаемое 1 на возрастание/убывание не влияет.

Answer 2

Область определения- это все разрешенные числа, т.е. это те значения икса, для которых можно посчитать игрек. В данном случае, область определения это множество R всех действительных чисел. Для того, что бы найти в каких точках функция обращается в ноль, нужной найти производную функции. она получится вида -1/2 * sin (x/2). Sin превращается в 0 при π. А поскольку у нас в производной получилось -1/2 * sin (π/2), то чтобы в скобках было просто π, нужно это значение умножить на 2π. Именно в точка

Answer 3

Именно в точках, кратных 2π функция будет равна 0.

Answer 4

Т.е. в 0 она будет превращаться в -10π, -8π, -6π, -2π, 2π, 4π и так далее

Answer 5

Сама по себе функция cos четная. из определения функции следует, что х всегда больше 0 при cos= -π/2 с периодом 2π (в метематической записи -π/2 + 2π). Поскольку функция в примере растянута в 2 раза, то нарастать она будет на -π/2 / 1/2 = -π. А вот период у функции растянулся. В нормально виде период 2π. У нас же будет 4π

Answer 6

следовательно, cos x всегда > 0 при -π c периодом 4π или cos x>0 для всех х=(-π + 4πk, 4πk)