Question

3. Найдите длину медианы AM треугольника ABC, если A (5, 1)., В (-4.3)., C (6.1).
4. Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках А (3; -1)., В (2, 3)., С (-2, 2).,
Д (-1; -2)., представляет собой прямоугольник.
5. Докажите, что четырёхугольник АВСД с вершинами в точках А (0; 6)., В (5; 7)., С (4,2).,
Д (1, -1).
1. Найдите на оси абсцисс точку равноудаленную от точек А (1; 5).,В (3; 1).

Answer 1

3) Находим основание заданной медианы - это середина стороны ВС:
М=((-4+6)/2=1; (2+1)/2=2)
Теперь по координатам точек А и М находим длину отрезка АМ:
$AM= sqrt{(1-5)^2+(2-1)^2} = sqrt{16+1}= sqrt{17} =4,123106.$

4) Доказательством может служить равенство диагоналей заданного четырёхугольника:
$AC= sqrt{(-2-3)^2+(2+1)^2} = sqrt{25+9}= sqrt{34} .$
$BD= sqrt{(-1-2)^2+(-2-3)^2} = sqrt{9+25} = sqrt{34.}$

5) В этом задании неизвестно, что надо доказать.

1) Точка, равноудалённая от точек А и В, находится на перпендикуляре, проведённом к середине отрезка АВ.
Находим уравнение прямой АВ:
$AB: frac{x-1}{3-1}= frac{y-5}{1-5}$
$AB: frac{x-1}{2}= frac{y-5}{-4}$
-4x + 4 = 2y -10
y = -2x + 7.
Находим координаты точки С - середины отрезка АВ:
$C( frac{1+3}{2} =2; frac{5+1}{2}=3)$
Уравнение перпендикуляра у = (-1 / (-2))х + в = (1/2)х + в.
Подставим координаты точки С, находящейся на этом перпендикуляре:
3 = (1/2)*2 + в = 1 + в.
в = 3 - 1 = 2.
Уравнение перпендикуляра у =  (1/2)х + 2.
При пересечении этого перпендикуляра с осью "х" значение "у" равно 0.
0 =  (1/2)х + 2.
х = -2 / (1/2) = -4.
Ответ: на оси абсцисс точка, равноудаленная от точек А (1; 5).,В (3; 1), имеет абсциссу -4.